在如下的银河系模型中，太阳到银心的距离r ⊙ = 8.5 k p c r_\odot = 8.5\,\mathrm{kpc} r ⊙ = 8.5 kpc v ⊙ = 220 k m / s v_\odot = 220\,\mathrm{km/s} v ⊙ = 220 km/s
银心坐标系中太阳的坐标为r ⃗ ⊙ = ( 0 , r ⊙ , 0 ) \vec{r}_\odot = (0, r_\odot, 0) r ⊙ = ( 0 , r ⊙ , 0 ) x x x v ⃗ = ( v ⊙ , 0 , 0 ) \vec{v} = (v_\odot, 0, 0) v = ( v ⊙ , 0 , 0 )
假设有一个点P跟随银盘旋转运动，在垂直于银盘的方向无速度。P点在银心坐标系中坐标为r ⃗ = ( r x , r y , r z ) \vec{r} = (r_x, r_y, r_z) r = ( r x , r y , r z ) v ⃗ = ( v x , v y , 0 ) \vec{v} = (v_x, v_y, 0) v = ( v x , v y , 0 ) d ⃗ \vec{d} d l l l b b b d d d
r ⃗ = [ r x r y r z ] = [ d sin l cos b r ⊙ − d cos l cos b d sin b ] \vec{r} = \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d\sin{l}\cos{b} \\ r_{\odot} - d\cos{l}\cos{b} \\ d\sin{b} \end{bmatrix}
r = r x r y r z = d sin l cos b r ⊙ − d cos l cos b d sin b
下一步需要知道P对太阳的视向速度v r a d v_{\mathrm{rad}} v rad v ⃗ \vec{v} v d ⃗ \vec{d} d
v r a d = d ⃗ ⋅ v ⃗ − d ⃗ ⋅ v ⃗ ⊙ ∣ d ⃗ ∣ = d ⃗ ⋅ ( v ⃗ − v ⃗ ⊙ ) ∣ d ⃗ ∣ = ( r ⃗ − r ⃗ ⊙ ) ⋅ ( v ⃗ − v ⃗ ⊙ ) d v_{\mathrm{rad}} = \frac{\vec{d} \cdot \vec{v} - \vec{d} \cdot \vec{v}_{\odot}}{|\vec{d}|} = \frac{\vec{d} \cdot (\vec{v} - \vec{v}_{\odot})}{|\vec{d}|} = \frac{(\vec{r} - \vec{r}_{\odot}) \cdot (\vec{v} - \vec{v}_{\odot})}{d}
v rad = ∣ d ∣ d ⋅ v − d ⋅ v ⊙ = ∣ d ∣ d ⋅ ( v − v ⊙ ) = d ( r − r ⊙ ) ⋅ ( v − v ⊙ )
将r ⃗ \vec{r} r v ⃗ \vec{v} v
v r a d = 1 d ⋅ [ d sin l cos b − d cos l cos b d sin b ] ⋅ [ v x − v ⊙ v y 0 ] = ( v x − v ⊙ ) sin l cos b − v y cos l cos b v_{\mathrm{rad}} = \frac{1}{d} \cdot \begin{bmatrix} d\sin{l}\cos{b} \\ -d\cos{l}\cos{b} \\ d\sin{b} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_x - v_\odot \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix} = (v_x - v_\odot) \sin{l}\cos{b} - v_y \cos{l}\cos{b}
v rad = d 1 ⋅ d sin l cos b − d cos l cos b d sin b ⋅ v x − v ⊙ v y 0 = ( v x − v ⊙ ) sin l cos b − v y cos l cos b
也可以写为：
v r a d = ( v x sin l − v y cos l ) cos b − v ⊙ sin l cos b v_{\mathrm{rad}} = (v_x\sin{l} - v_y\cos{l}) \cos{b} - v_\odot \sin{l}\cos{b}
v rad = ( v x sin l − v y cos l ) cos b − v ⊙ sin l cos b
下一步证明：
v x sin l − v y cos l = v r ⊙ r x y sin l v_x \sin{l} - v_y \cos{l} = v \frac{r_{\odot}}{r_{xy}} \sin{l}
v x sin l − v y cos l = v r x y r ⊙ sin l
如图，Q为P在银盘平面的投影。在银心、太阳和Q点构成的三角形中，由正弦定理得：
r ⊙ cos α = r x y cos l \frac{r_\odot}{\cos{\alpha}} = \frac{r_{xy}}{\cos{l}}
cos α r ⊙ = cos l r x y
即：
v r ⊙ r x y sin l = v cos α v \frac{r_{\odot}}{r_{xy}} \sin{l} = v \cos{\alpha}
v r x y r ⊙ sin l = v cos α
而v cos α v \cos{\alpha} v cos α v x sin l − v y cos l v_x \sin{l} - v_y \cos{l} v x sin l − v y cos l v v v
v cos α = v x sin l − v y cos l v \cos{\alpha} = v_x \sin{l} - v_y \cos{l}
v cos α = v x sin l − v y cos l
证明如下：记太阳与Q对银心的夹角为θ = 90 ∘ + α − l \theta = 90^\circ + \alpha - l θ = 9 0 ∘ + α − l
v x = v cos θ = − v sin ( α − l ) , v y = − v sin θ = − v cos ( α − l ) v_x = v \cos{\theta} = -v \sin(\alpha - l),\quad v_y = -v \sin{\theta} = -v \cos(\alpha - l)
v x = v cos θ = − v sin ( α − l ) , v y = − v sin θ = − v cos ( α − l )
则：
v x sin l − v y cos l = − v sin ( α − l ) sin l + v cos ( α − l ) cos l = v cos α v_x \sin{l} - v_y \cos{l} = -v \sin(\alpha - l) \sin{l} + v \cos(\alpha - l) \cos{l} = v \cos{\alpha}
v x sin l − v y cos l = − v sin ( α − l ) sin l + v cos ( α − l ) cos l = v cos α
这里使用了两角和的余弦公式：
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b \cos(a + b) = \cos{a} \cos{b} - \sin{a} \sin{b}
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b
于是有：
v x sin l − v y cos l = v cos α = v r ⊙ r x y sin l v_x \sin{l} - v_y \cos{l} = v \cos{\alpha} = v \frac{r_{\odot}}{r_{xy}} \sin{l}
v x sin l − v y cos l = v cos α = v r x y r ⊙ sin l
综上所述：
v r a d = ( v r ⊙ r x y − v ⊙ ) sin l cos b v_{\mathrm{rad}} = \left(v \frac{r_{\odot}}{r_{xy}} - v_{\odot}\right) \sin{l}\cos{b}
v rad = ( v r x y r ⊙ − v ⊙ ) sin l cos b
现在讨论不同l l l b b b v r a d v_{\mathrm{rad}} v rad R = r x y R = r_{xy} R = r x y
v r a d = v ⊙ ( r ⊙ R − 1 ) sin l cos b v_{\mathrm{rad}} = v_\odot \left(\frac{r_{\odot}}{R} - 1\right) \sin{l}\cos{b}
v rad = v ⊙ ( R r ⊙ − 1 ) sin l cos b
此时v m a x v_{\mathrm{max}} v max R m i n R_{\mathrm{min}} R min v m i n v_{\mathrm{min}} v min R m a x R_{\mathrm{max}} R max l l l b b b R = r x y R = r_{xy} R = r x y
我们采用一个圆柱体的银河系旋转模型：设银河系是一个半径为r g a l r_{\mathrm{gal}} r gal 2 h 2h 2 h v ( R ) ≡ v ⊙ v(R) \equiv v_\odot v ( R ) ≡ v ⊙ y = r ⊙ y = r_\odot y = r ⊙ r g a l > 2 r ⊙ r_{\mathrm{gal}} > 2r_\odot r gal > 2 r ⊙ 90 ∘ − b 90^\circ - b 9 0 ∘ − b h h h r h = h tan b r_h = h\tan{b} r h = h tan b x 2 + y 2 = r g a l 2 x^2 + y^2 = r_{\mathrm{gal}}^2 x 2 + y 2 = r gal 2 x 2 + ( y − r ⊙ ) 2 = r h 2 x^2 + (y-r_\odot)^2 = r_h^2 x 2 + ( y − r ⊙ ) 2 = r h 2
定义：
r l = r ⊙ 2 + r h 2 − 2 r ⊙ r h cos l r_l = \sqrt{r_\odot^2 + r_h^2 - 2r_\odot r_h \cos{l}}
r l = r ⊙ 2 + r h 2 − 2 r ⊙ r h cos l
当cos l = r h 2 r ⊙ \cos{l} = \dfrac{r_h}{2r_\odot} cos l = 2 r ⊙ r h r l = r ⊙ r_l = r_\odot r l = r ⊙ cos l = r h r ⊙ \cos{l} = \dfrac{r_h}{r_\odot} cos l = r ⊙ r h r l = r ⊙ 2 − r h 2 r_l = \sqrt{r_\odot^2 - r_h^2} r l = r ⊙ 2 − r h 2
先不考虑圆锥和圆柱侧面的交线，在b b b r h r_h r h
b = 0 b = 0 b = 0
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ 0 r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ 0 cos l < 0
R m a x = { r g a l , cos l ⩾ 0 r g a l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = { r gal , r gal , cos l ⩾ 0 cos l < 0
r ⊙ ⩽ r h = h tan b < 2 r ⊙ r_\odot \leqslant r_h = h\tan{b} < 2r_\odot r ⊙ ⩽ r h = h tan b < 2 r ⊙
此时存在两个对称点，使得r h = r ⊙ r_h = r_\odot r h = r ⊙ cos l = r h 2 r ⊙ \cos{l} = \dfrac{r_h}{2r_\odot} cos l = 2 r ⊙ r h cos l ⩾ r h 2 r ⊙ \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} cos l ⩾ 2 r ⊙ r h r ⊙ ⩾ r l r_\odot \geqslant r_l r ⊙ ⩾ r l R m a x = r ⊙ R_{\mathrm{max}} = r_\odot R max = r ⊙ v m i n = 0 v_{\mathrm{min}} = 0 v min = 0
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
R m a x = { r ⊙ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r l , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ , r l , r l , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
r h = h tan b < r ⊙ r_h = h\tan{b} < r_\odot r h = h tan b < r ⊙
此时银心在以太阳为圆心、r h r_h r h cos l > r h r ⊙ \cos{l} > \dfrac{r_h}{r_\odot} cos l > r ⊙ r h R = r ⊙ ∣ sin l ∣ R = r_\odot |\sin{l}| R = r ⊙ ∣ sin l ∣ r h < r ⊙ cos l r_h < r_\odot \cos{l} r h < r ⊙ cos l R m i n R_{\mathrm{min}} R min r l r_l r l
R m i n = { r l , cos l ⩾ r h r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r h 2 r ⊙ ⩽ cos l < r h r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & \dfrac{r_h}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r l , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ r ⊙ r h 2 r ⊙ r h ⩽ cos l < r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
R m a x = { r ⊙ , cos l ⩾ r h r ⊙ r ⊙ , r h 2 r ⊙ ⩽ cos l < r h r ⊙ r l , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot, & \dfrac{r_h}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ , r ⊙ , r l , r l , cos l ⩾ r ⊙ r h 2 r ⊙ r h ⩽ cos l < r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
考虑圆锥和圆柱侧面有交线的情况。如果对于某一个银经l l l r h r_h r h R R R r g a l r_{\mathrm{gal}} r gal
r l = r ⊙ 2 + r h 2 − 2 r ⊙ r h cos l r_l = \sqrt{r_\odot^2 + r_h^2 - 2r_\odot r_h \cos{l}}
r l = r ⊙ 2 + r h 2 − 2 r ⊙ r h cos l
圆锥面的半顶角为90 ∘ − b 90^\circ - b 9 0 ∘ − b
z 2 = [ x 2 + ( y − r ⊙ ) 2 ] tan 2 b z^2 = [x^2 + (y-r_\odot)^2] \tan^2{b}
z 2 = [ x 2 + ( y − r ⊙ ) 2 ] tan 2 b
和圆柱面：
x 2 + y 2 = r g a l 2 x^2 + y^2 = r_{\mathrm{gal}}^2
x 2 + y 2 = r gal 2
的交线为抛物柱面：
z 2 = [ r g a l 2 − 2 r ⊙ y + r ⊙ 2 ] tan 2 b z^2 = [r_{\mathrm{gal}}^2 - 2r_\odot y + r_\odot^2] \tan^2{b}
z 2 = [ r gal 2 − 2 r ⊙ y + r ⊙ 2 ] tan 2 b
的一部分。
考虑圆x 2 + y 2 = r g a l 2 x^2 + y^2 = r_{\mathrm{gal}}^2 x 2 + y 2 = r gal 2 x 2 + ( y − r ⊙ ) 2 = r h 2 x^2 + (y-r_\odot)^2 = r_h^2 x 2 + ( y − r ⊙ ) 2 = r h 2
r g a l 2 − 2 r ⊙ y 0 + r ⊙ 2 = r h 2 r_{\mathrm{gal}}^2 - 2r_\odot y_0 + r_\odot^2 = r_h^2
r gal 2 − 2 r ⊙ y 0 + r ⊙ 2 = r h 2
即：
y 0 = r g a l 2 + r ⊙ 2 − r h 2 2 r ⊙ y_0 = \frac{r_{\mathrm{gal}}^2 + r_\odot^2 - r_h^2}{2r_\odot}
y 0 = 2 r ⊙ r gal 2 + r ⊙ 2 − r h 2
这对应的银经为：
cos l = r ⊙ − y 0 r h \cos{l} = \frac{r_\odot - y_0}{r_h}
cos l = r h r ⊙ − y 0
容易证明：（两边同乘2 r ⊙ r h 2r_\odot r_h 2 r ⊙ r h r ⊙ < r g a l r_\odot < r_{\mathrm{gal}} r ⊙ < r gal
r ⊙ − y 0 r h < r h 2 r ⊙ \frac{r_\odot - y_0}{r_h} < \frac{r_h}{2r_\odot}
r h r ⊙ − y 0 < 2 r ⊙ r h
当r g a l − r ⊙ < r h < r g a l + r ⊙ r_{\mathrm{gal}} - r_\odot < r_h < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot r gal − r ⊙ < r h < r gal + r ⊙ cos l = 0 \cos{l} = 0 cos l = 0
r h = r g a l 2 − r ⊙ 2 r_h = \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2}
r h = r gal 2 − r ⊙ 2
临界点：
r g a l − r ⊙ < r h < r g a l + r ⊙ r ⊙ < r h < 2 r ⊙ r_{\mathrm{gal}} - r_\odot < r_h < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot \\
r_\odot < r_h < 2r_\odot
r gal − r ⊙ < r h < r gal + r ⊙ r ⊙ < r h < 2 r ⊙
若2 r ⊙ < r g a l < 3 r ⊙ 2r_\odot < r_{\mathrm{gal}} < 3r_\odot 2 r ⊙ < r gal < 3 r ⊙ r ⊙ = 8.5 k p c r_\odot = 8.5\,\mathrm{kpc} r ⊙ = 8.5 kpc 17 k p c < r g a l < 25.5 k p c 17\,\mathrm{kpc} < r_{\mathrm{gal}} < 25.5\,\mathrm{kpc} 17 kpc < r gal < 25.5 kpc
r ⊙ < r g a l − r ⊙ < 2 r ⊙ < r g a l + r ⊙ r_\odot < r_{\mathrm{gal}} - r_\odot < 2r_\odot < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot
r ⊙ < r gal − r ⊙ < 2 r ⊙ < r gal + r ⊙
值得注意的是，当r g a l > 5 r ⊙ r_{\mathrm{gal}} > \sqrt{5} r_\odot r gal > 5 r ⊙ cos l = 0 \cos{l} = 0 cos l = 0
r h = r g a l 2 − r ⊙ 2 > 2 r ⊙ r_h = \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} > 2r_\odot
r h = r gal 2 − r ⊙ 2 > 2 r ⊙
也就是交点y 0 y_0 y 0 y 0 < r ⊙ y_0 < r_\odot y 0 < r ⊙ y 0 > r ⊙ y_0 > r_\odot y 0 > r ⊙ r h > 2 r ⊙ r_h > 2r_\odot r h > 2 r ⊙ r ⊙ = 8.5 k p c r_\odot = 8.5\,\mathrm{kpc} r ⊙ = 8.5 kpc 5 r ⊙ ≈ 19 k p c \sqrt{5} r_\odot \approx 19\,\mathrm{kpc} 5 r ⊙ ≈ 19 kpc r g a l > 5 r ⊙ r_{\mathrm{gal}} > \sqrt{5} r_\odot r gal > 5 r ⊙
综上，假设5 r ⊙ ⩽ r g a l < 3 r ⊙ \sqrt{5} r_\odot \leqslant r_{\mathrm{gal}} < 3r_\odot 5 r ⊙ ⩽ r gal < 3 r ⊙ b b b r h r_h r h
r h ⩾ r g a l + r ⊙ r_h \geqslant r_{\mathrm{gal}} + r_\odot r h ⩾ r gal + r ⊙
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ 0 r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ 0 cos l < 0
R m a x = { r g a l , cos l ⩾ 0 r g a l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = { r gal , r gal , cos l ⩾ 0 cos l < 0
r g a l 2 − r ⊙ 2 ⩽ r h < r g a l + r ⊙ \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} \leqslant r_h < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot r gal 2 − r ⊙ 2 ⩽ r h < r gal + r ⊙ y 0 y_0 y 0
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ r ⊙ − y 0 r h r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r ⊙ − y 0 r h r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ r h r ⊙ − y 0 0 ⩽ cos l < r h r ⊙ − y 0 cos l < 0
R m a x = { r l , cos l ⩾ r ⊙ − y 0 r h r g a l , 0 ⩽ cos l < r ⊙ − y 0 r h r g a l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_{\mathrm{gal}}, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r l , r gal , r gal , cos l ⩾ r h r ⊙ − y 0 0 ⩽ cos l < r h r ⊙ − y 0 cos l < 0
2 r ⊙ ⩽ r h < r g a l 2 − r ⊙ 2 2r_\odot \leqslant r_h < \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} 2 r ⊙ ⩽ r h < r gal 2 − r ⊙ 2 y 0 y_0 y 0
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ 0 r ⊙ , r ⊙ − y 0 r h ⩽ cos l < 0 r ⊙ , cos l < r ⊙ − y 0 r h R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \leqslant \cos{l} < 0 \\
r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h}
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , r ⊙ , cos l ⩾ 0 r h r ⊙ − y 0 ⩽ cos l < 0 cos l < r h r ⊙ − y 0
R m a x = { r l , cos l ⩾ 0 r l , r ⊙ − y 0 r h ⩽ cos l < 0 r g a l , cos l < r ⊙ − y 0 r h R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_l, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \leqslant \cos{l} < 0 \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h}
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r l , r l , r gal , cos l ⩾ 0 r h r ⊙ − y 0 ⩽ cos l < 0 cos l < r h r ⊙ − y 0
r g a l − r ⊙ ⩽ r h < 2 r ⊙ r_{\mathrm{gal}} - r_\odot \leqslant r_h < 2r_\odot r gal − r ⊙ ⩽ r h < 2 r ⊙ y 0 y_0 y 0
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r ⊙ , r ⊙ − y 0 r h ⩽ cos l < 0 r ⊙ , cos l < r ⊙ − y 0 r h R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \leqslant \cos{l} < 0 \\
r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h}
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , r ⊙ , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h r h r ⊙ − y 0 ⩽ cos l < 0 cos l < r h r ⊙ − y 0
R m a x = { r ⊙ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r l , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r l , r ⊙ − y 0 r h ⩽ cos l < 0 r g a l , cos l < r ⊙ − y 0 r h R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \leqslant \cos{l} < 0 \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h}
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ , r l , r l , r gal , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h r h r ⊙ − y 0 ⩽ cos l < 0 cos l < r h r ⊙ − y 0
r ⊙ ⩽ r h < r g a l − r ⊙ r_\odot \leqslant r_h < r_{\mathrm{gal}} - r_\odot r ⊙ ⩽ r h < r gal − r ⊙
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
R m a x = { r ⊙ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r l , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ , r l , r l , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
r h < r ⊙ r_h < r_\odot r h < r ⊙
R m i n = { r l , cos l ⩾ r h r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r h 2 r ⊙ ⩽ cos l < r h r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & \dfrac{r_h}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r l , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ r ⊙ r h 2 r ⊙ r h ⩽ cos l < r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
R m a x = { r ⊙ , cos l ⩾ r h r ⊙ r ⊙ , r h 2 r ⊙ ⩽ cos l < r h r ⊙ r l , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot, & \dfrac{r_h}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ , r ⊙ , r l , r l , cos l ⩾ r ⊙ r h 2 r ⊙ r h ⩽ cos l < r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
同理，假设r g a l ⩾ 3 r ⊙ r_{\mathrm{gal}} \geqslant 3r_\odot r gal ⩾ 3 r ⊙ b b b r h r_h r h
r h ⩾ r g a l + r ⊙ r_h \geqslant r_{\mathrm{gal}} + r_\odot r h ⩾ r gal + r ⊙
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ 0 r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ 0 cos l < 0
R m a x = { r g a l , cos l ⩾ 0 r g a l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = { r gal , r gal , cos l ⩾ 0 cos l < 0
r g a l 2 − r ⊙ 2 ⩽ r h < r g a l + r ⊙ \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} \leqslant r_h < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot r gal 2 − r ⊙ 2 ⩽ r h < r gal + r ⊙ y 0 y_0 y 0
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ r ⊙ − y 0 r h r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r ⊙ − y 0 r h r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ r h r ⊙ − y 0 0 ⩽ cos l < r h r ⊙ − y 0 cos l < 0
R m a x = { r l , cos l ⩾ r ⊙ − y 0 r h r g a l , 0 ⩽ cos l < r ⊙ − y 0 r h r g a l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_{\mathrm{gal}}, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r l , r gal , r gal , cos l ⩾ r h r ⊙ − y 0 0 ⩽ cos l < r h r ⊙ − y 0 cos l < 0
r g a l − r ⊙ ⩽ r h < r g a l 2 − r ⊙ 2 r_{\mathrm{gal}} - r_\odot \leqslant r_h < \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} r gal − r ⊙ ⩽ r h < r gal 2 − r ⊙ 2 y 0 y_0 y 0
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ 0 r ⊙ , r ⊙ − y 0 r h ⩽ cos l < 0 r ⊙ , cos l < r ⊙ − y 0 r h R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \leqslant \cos{l} < 0 \\
r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h}
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , r ⊙ , cos l ⩾ 0 r h r ⊙ − y 0 ⩽ cos l < 0 cos l < r h r ⊙ − y 0
R m a x = { r l , cos l ⩾ 0 r l , r ⊙ − y 0 r h ⩽ cos l < 0 r g a l , cos l < r ⊙ − y 0 r h R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_l, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \leqslant \cos{l} < 0 \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h}
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r l , r l , r gal , cos l ⩾ 0 r h r ⊙ − y 0 ⩽ cos l < 0 cos l < r h r ⊙ − y 0
2 r ⊙ ⩽ r h < r g a l − r ⊙ 2r_\odot \leqslant r_h < r_{\mathrm{gal}} - r_\odot 2 r ⊙ ⩽ r h < r gal − r ⊙
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ 0 r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ 0 cos l < 0
R m a x = { r l , cos l ⩾ 0 r g a l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_l, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = { r l , r gal , cos l ⩾ 0 cos l < 0
r ⊙ ⩽ r h < 2 r ⊙ r_\odot \leqslant r_h < 2r_\odot r ⊙ ⩽ r h < 2 r ⊙
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
R m a x = { r ⊙ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r l , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ , r l , r l , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
r h < r ⊙ r_h < r_\odot r h < r ⊙
R m i n = { r l , cos l ⩾ r h r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r h 2 r ⊙ ⩽ cos l < r h r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & \dfrac{r_h}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r l , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ r ⊙ r h 2 r ⊙ r h ⩽ cos l < r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
R m a x = { r ⊙ , cos l ⩾ r h r ⊙ r ⊙ , r h 2 r ⊙ ⩽ cos l < r h r ⊙ r l , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot, & \dfrac{r_h}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ , r ⊙ , r l , r l , cos l ⩾ r ⊙ r h 2 r ⊙ r h ⩽ cos l < r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
当然我们也可以讨论2 r ⊙ ⩽ r g a l < 5 r ⊙ 2r_\odot \leqslant r_{\mathrm{gal}} < \sqrt{5} r_\odot 2 r ⊙ ⩽ r gal < 5 r ⊙ b b b r h r_h r h
r h ⩾ r g a l + r ⊙ r_h \geqslant r_{\mathrm{gal}} + r_\odot r h ⩾ r gal + r ⊙
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ 0 r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ 0 cos l < 0
R m a x = { r g a l , cos l ⩾ 0 r g a l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} \geqslant 0 \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = { r gal , r gal , cos l ⩾ 0 cos l < 0
2 r ⊙ ⩽ r h < r g a l + r ⊙ 2r_\odot \leqslant r_h < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot 2 r ⊙ ⩽ r h < r gal + r ⊙ y 0 y_0 y 0
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ r ⊙ − y 0 r h r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r ⊙ − y 0 r h r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ r h r ⊙ − y 0 0 ⩽ cos l < r h r ⊙ − y 0 cos l < 0
R m a x = { r l , cos l ⩾ r ⊙ − y 0 r h r g a l , 0 ⩽ cos l < r ⊙ − y 0 r h r g a l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_{\mathrm{gal}}, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r l , r gal , r gal , cos l ⩾ r h r ⊙ − y 0 0 ⩽ cos l < r h r ⊙ − y 0 cos l < 0
r g a l 2 − r ⊙ 2 ⩽ r h < 2 r ⊙ \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} \leqslant r_h < 2r_\odot r gal 2 − r ⊙ 2 ⩽ r h < 2 r ⊙ y 0 y_0 y 0
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r ⊙ , r ⊙ − y 0 r h ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r ⊙ , cos l < r ⊙ − y 0 r h R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h}
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , r ⊙ , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h r h r ⊙ − y 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < r h r ⊙ − y 0
R m a x = { r ⊙ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r l , r ⊙ − y 0 r h ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r g a l , cos l < r ⊙ − y 0 r h R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h}
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ , r l , r gal , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h r h r ⊙ − y 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < r h r ⊙ − y 0
r g a l − r ⊙ ⩽ r h < r g a l 2 − r ⊙ 2 r_{\mathrm{gal}} - r_\odot \leqslant r_h < \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} r gal − r ⊙ ⩽ r h < r gal 2 − r ⊙ 2 y 0 y_0 y 0
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r ⊙ , r ⊙ − y 0 r h ⩽ cos l < 0 r ⊙ , cos l < r ⊙ − y 0 r h R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \leqslant \cos{l} < 0 \\
r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h}
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , r ⊙ , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h r h r ⊙ − y 0 ⩽ cos l < 0 cos l < r h r ⊙ − y 0
R m a x = { r ⊙ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r l , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r l , r ⊙ − y 0 r h ⩽ cos l < 0 r ⊙ , cos l < r ⊙ − y 0 r h R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h} \leqslant \cos{l} < 0 \\
r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_h}
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ , r l , r l , r ⊙ , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h r h r ⊙ − y 0 ⩽ cos l < 0 cos l < r h r ⊙ − y 0
r ⊙ ⩽ r h < r g a l − r ⊙ r_\odot \leqslant r_h < r_{\mathrm{gal}} - r_\odot r ⊙ ⩽ r h < r gal − r ⊙
R m i n = { r ⊙ ∣ sin l ∣ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
R m a x = { r ⊙ , cos l ⩾ r h 2 r ⊙ r l , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ , r l , r l , cos l ⩾ 2 r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
r h < r ⊙ r_h < r_\odot r h < r ⊙
R m i n = { r l , cos l ⩾ r h r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , r h 2 r ⊙ ⩽ cos l < r h r ⊙ r ⊙ ∣ sin l ∣ , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r ⊙ , cos l < 0 R_{\mathrm{min}} =
\begin{cases}
r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & \dfrac{r_h}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_\odot, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R min = ⎩ ⎨ ⎧ r l , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ ∣ sin l ∣ , r ⊙ , cos l ⩾ r ⊙ r h 2 r ⊙ r h ⩽ cos l < r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
R m a x = { r ⊙ , cos l ⩾ r h r ⊙ r ⊙ , r h 2 r ⊙ ⩽ cos l < r h r ⊙ r l , 0 ⩽ cos l < r h 2 r ⊙ r l , cos l < 0 R_{\mathrm{max}} =
\begin{cases}
r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_\odot, & \dfrac{r_h}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{r_\odot} \\
r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_h}{2r_\odot} \\
r_l, & \cos{l} < 0
\end{cases}
R max = ⎩ ⎨ ⎧ r ⊙ , r ⊙ , r l , r l , cos l ⩾ r ⊙ r h 2 r ⊙ r h ⩽ cos l < r ⊙ r h 0 ⩽ cos l < 2 r ⊙ r h cos l < 0
参考文献：
Wakker B P. Distribution and origin of high-velocity clouds. II-Statistical analysis of the whole-sky survey [J]. Astronomy and Astrophysics (ISSN 0004-6361), vol. 250, no. 2, Oct. 1991, p. 499-508. Research supported by ASTRON., 1991, 250: 499-508.
Westmeier T. A new all-sky map of Galactic high-velocity clouds from the 21-cm HI4PI survey [J]. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2018, 474(1): 289-299.
