前言

高速云（HVCs，High-velocity clouds）是在银河系的银晕中发现的大量视向速度较高的气体云 (Wakker & van Woerden 1997)。传统上认为，在本地静止标准（LSR）中的视向速度超过70∼90 km/s70 \sim 90\,\mathrm{km/s}的气体云是高速云。但我们知道，在以太阳为原点的参考系下，银河系在不同的银经ll处，旋转的视向速度是不同的，最大速度可以超过100 km/s100\,\mathrm{km/s}，如下图（图源 (Reid et al. 2019)，HI数据来自LAB巡天）：

而在 (Wakker 1991) 的论文中提出了“偏差速度（deviation velocity）”的概念，也就是将视向速度vLSRv_{\mathrm{LSR}}与银河系旋转模型对比，考虑在特定的银经ll和银纬bb下，银河系旋转速度可能的最大值与最小值（也是绝对值的最大值），完全排除银河系旋转速度的干扰。

这里的偏差速度（deviation velocity）vdevv_{\mathrm{dev}}定义如下：

vdev={∣vLSR−vmin(l,b)∣,vLSR<0∣vLSR−vmax(l,b)∣,vLSR>0v_{\mathrm{dev}} = \begin{cases} |v_{\mathrm{LSR}} - v_{\mathrm{min}}(l,b)|, & v_{\mathrm{LSR}} < 0 \\ |v_{\mathrm{LSR}} - v_{\mathrm{max}}(l,b)|, & v_{\mathrm{LSR}} > 0 \\ \end{cases}

即对于任意一个视线坐标(l,b)(l,b)，视向速度在[vmin(l,b)−vdev, vmax(l,b)+vdev][v_{\mathrm{min}}(l,b) - v_{\mathrm{dev}},\ v_{\mathrm{max}}(l,b) + v_{\mathrm{dev}}]的部分都可以被排除。这保证了高速云相对于其附近的星系盘介质的速度一定大于vdevv_{\mathrm{dev}}。问题转化为如何确定视线(l,b)(l,b)处银河系旋转速度的最小值与最大值。

这对于大范围巡天的数据处理非常重要。后续在中性氢巡天数据中寻找高速云的研究中普遍采用了这一定义，如HI4PI巡天 (Westmeier 2018)、LDS巡天 (de Heij et al. 2002)、HIPASS巡天 (Putman et al. 2002) 等。

银河系旋转模型

视向速度的表示

这一部分的推导来自于 (Westmeier 2018) 论文。

在如下的银河系模型中，太阳到银心的距离r⊙=8.5 kpcr_\odot = 8.5\,\mathrm{kpc}，太阳的公转速率为v⊙=220 km/sv_\odot = 220\,\mathrm{km/s}。

银心坐标系中太阳的坐标为r⃗⊙=(0,r⊙,0)\vec{r}_\odot = (0, r_\odot, 0)，速度沿xx轴正方向，即v⃗⊙=(v⊙,0,0)\vec{v}_\odot = (v_\odot, 0, 0)。

假设有一个点P跟随银盘旋转运动，在垂直于银盘的方向无速度。P点在银心坐标系中坐标为r⃗=(rx,ry,rz)\vec{r} = (r_x, r_y, r_z)，速度为v⃗=(vx,vy,0)\vec{v} = (v_x, v_y, 0)。在太阳坐标系中，太阳指向P的矢量是d⃗\vec{d}，则P的位置可以用银经ll、银纬bb和距离dd表示为：

r⃗=[rxryrz]=[dsin⁡lcos⁡br⊙−dcos⁡lcos⁡bdsin⁡b]\vec{r} = \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d\sin{l}\cos{b} \\ r_{\odot} - d\cos{l}\cos{b} \\ d\sin{b} \end{bmatrix}

下一步需要知道P对太阳的视向速度vradv_{\mathrm{rad}}。我们需要将速度v⃗\vec{v}投影到矢量d⃗\vec{d}上，再将太阳本身的旋转速度分量扣除：

vrad=d⃗⋅v⃗−d⃗⋅v⃗⊙∣d⃗∣=d⃗⋅(v⃗−v⃗⊙)∣d⃗∣=(r⃗−r⃗⊙)⋅(v⃗−v⃗⊙)dv_{\mathrm{rad}} = \frac{\vec{d} \cdot \vec{v} - \vec{d} \cdot \vec{v}_{\odot}}{|\vec{d}|} = \frac{\vec{d} \cdot (\vec{v} - \vec{v}_{\odot})}{|\vec{d}|} = \frac{(\vec{r} - \vec{r}_{\odot}) \cdot (\vec{v} - \vec{v}_{\odot})}{d}

将r⃗\vec{r}和v⃗\vec{v}的坐标表达式代入上式即得：

vrad=1d⋅[dsin⁡lcos⁡b−dcos⁡lcos⁡bdsin⁡b]⋅[vx−v⊙vy0]=(vx−v⊙)sin⁡lcos⁡b−vycos⁡lcos⁡bv_{\mathrm{rad}} = \frac{1}{d} \cdot \begin{bmatrix} d\sin{l}\cos{b} \\ -d\cos{l}\cos{b} \\ d\sin{b} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_x - v_\odot \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix} = (v_x - v_\odot) \sin{l}\cos{b} - v_y \cos{l}\cos{b}

也可以写为：

vrad=(vxsin⁡l−vycos⁡l)cos⁡b−v⊙sin⁡lcos⁡bv_{\mathrm{rad}} = (v_x\sin{l} - v_y\cos{l}) \cos{b} - v_\odot \sin{l}\cos{b}

下一步证明：

vxsin⁡l−vycos⁡l=vr⊙rxysin⁡lv_x \sin{l} - v_y \cos{l} = v \frac{r_{\odot}}{r_{xy}} \sin{l}

如图，Q为P在银盘平面的投影。在银心、太阳和Q点构成的三角形中，由正弦定理得：

r⊙cos⁡α=rxycos⁡l\frac{r_\odot}{\cos{\alpha}} = \frac{r_{xy}}{\cos{l}}

即：

vr⊙rxysin⁡l=vcos⁡αv \frac{r_{\odot}}{r_{xy}} \sin{l} = v \cos{\alpha}

而vcos⁡αv \cos{\alpha}和vxsin⁡l−vycos⁡lv_x \sin{l} - v_y \cos{l}都是将vv投影到太阳与Q的连线上，故：

vcos⁡α=vxsin⁡l−vycos⁡lv \cos{\alpha} = v_x \sin{l} - v_y \cos{l}

证明如下：记太阳与Q对银心的夹角为θ=90∘+α−l\theta = 90^\circ + \alpha - l，则

vx=vcos⁡θ=−vsin⁡(α−l),vy=−vsin⁡θ=−vcos⁡(α−l)v_x = v \cos{\theta} = -v \sin(\alpha - l),\quad v_y = -v \sin{\theta} = -v \cos(\alpha - l)

则：

vxsin⁡l−vycos⁡l=−vsin⁡(α−l)sin⁡l+vcos⁡(α−l)cos⁡l=vcos⁡αv_x \sin{l} - v_y \cos{l} = -v \sin(\alpha - l) \sin{l} + v \cos(\alpha - l) \cos{l} = v \cos{\alpha}

这里使用了两角和的余弦公式：

cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos{a} \cos{b} - \sin{a} \sin{b}

于是有：

vxsin⁡l−vycos⁡l=vcos⁡α=vr⊙rxysin⁡lv_x \sin{l} - v_y \cos{l} = v \cos{\alpha} = v \frac{r_{\odot}}{r_{xy}} \sin{l}

综上所述，视向速度与ll、bb和rxyr_{xy}的关系为：

vrad=(vr⊙rxy−v⊙)sin⁡lcos⁡bv_{\mathrm{rad}} = \left(v \frac{r_{\odot}}{r_{xy}} - v_{\odot}\right) \sin{l}\cos{b}

视向速度的最值

三种典型情况

现在讨论不同ll和bb下，视向速度vradv_{\mathrm{rad}}能达到的最大值和最小值。这是此前的论文中不曾详细讨论的。

为简便起见，记R=rxyR = r_{xy}，则有：

vrad=(vRr⊙−v⊙)sin⁡lcos⁡bv_{\mathrm{rad}} = \left(\frac{v}{R}r_{\odot} - v_{\odot}\right) \sin{l}\cos{b}

可见不同ll和bb下，vradv_{\mathrm{rad}}能达到的最大值和最小值取决于vR\dfrac{v}{R}的最大值和最小值。

我们采用一个圆柱体的银河系旋转模型：设银河系是一个半径为rgalr_{\mathrm{gal}}、高度为2h2h的圆柱体，太阳位于y=r⊙y = r_\odot处，旋转曲线为常数v(R)≡v⊙v(R) \equiv v_\odot。此时：

vrad=v⊙(r⊙R−1)sin⁡lcos⁡bv_{\mathrm{rad}} = v_\odot \left(\frac{r_{\odot}}{R} - 1\right) \sin{l}\cos{b}

则vmaxv_{\mathrm{max}}对应于RminR_{\mathrm{min}}、vminv_{\mathrm{min}}对应于RmaxR_{\mathrm{max}}，问题转化为求不同ll和bb下，R=rxyR = r_{xy}能达到的最大值和最小值。

基于我们对银河系大小的认识，规定rgal>r⊙r_{\mathrm{gal}} > r_\odot。而位于太阳系的观测者视线扫过的区域为一个顶点在太阳系、半顶角为90∘−b90^\circ - b的圆锥。理论上圆锥高度为无穷大，但我们只考虑圆锥高度为hh的部分，则圆锥的底面半径为rb=h/tan⁡br_b = h/\tan{b}。圆锥与圆柱的关系可以反映在底面两个圆x2+y2=rgal2x^2 + y^2 = r_{\mathrm{gal}}^2与x2+(y−r⊙)2=rb2x^2 + (y-r_\odot)^2 = r_b^2的位置关系上。

定义：

rl=r⊙2+rb2−2r⊙rbcos⁡lr_l = \sqrt{r_\odot^2 + r_b^2 - 2r_\odot r_b \cos{l}}

当cos⁡l=rb2r⊙\cos{l} = \dfrac{r_b}{2r_\odot}时，rl=r⊙r_l = r_\odot；当cos⁡l=rbr⊙\cos{l} = \dfrac{r_b}{r_\odot}时，rl=r⊙2−rb2r_l = \sqrt{r_\odot^2 - r_b^2}。

先不考虑圆锥和圆柱侧面的交线，在bb不断增大，即rbr_b不断变小的过程中会发生三种典型情况：

  1. rb=h/tan⁡b>rgal+r⊙r_b = h/\tan{b} > r_{\mathrm{gal}} + r_\odot：

这是最简单的情况，此时圆锥和圆柱底面没有交线，R=rgalR = r_{\mathrm{gal}}，结论和b=0b = 0一样。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾0r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={rgal,cos⁡l⩾0rgal,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. r⊙⩽rb=h/tan⁡b<2r⊙r_\odot \leqslant r_b = h/\tan{b} < 2r_\odot

此时存在两个对称点，使得rb=r⊙r_b = r_\odot，即银心、太阳、Q点构成以银心为顶点的等腰三角形，此时cos⁡l=rb2r⊙\cos{l} = \dfrac{r_b}{2r_\odot}。当cos⁡l⩾rb2r⊙\cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot}时（如下图，在两个Q点之间），R⩽rl⩽r⊙R \leqslant r_l \leqslant r_\odot，则Rmax=r⊙R_{\mathrm{max}} = r_\odot，vmin=0v_{\mathrm{min}} = 0。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾rb2r⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rb2r⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. rb=h/tan⁡b<r⊙r_b = h/\tan{b} < r_\odot

此时银心在以太阳为圆心、rbr_b为半径的圆以外。可以做银心到该圆的切线，在两个切点以内cos⁡l>rbr⊙\cos{l} > \dfrac{r_b}{r_\odot}，此时太阳到Q的线段上没有点使得R=r⊙∣sin⁡l∣R = r_\odot |\sin{l}|（因为rb<r⊙cos⁡lr_b < r_\odot \cos{l}），RminR_{\mathrm{min}}只能取到rlr_l。

Rmin={rl,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \cos{l} < 0 \end{cases}

圆锥与圆柱相交

考虑圆锥和圆柱侧面有交线的情况，即以银心为圆心、rgalr_{\mathrm{gal}}为半径。如果对于某一个银经ll，太阳到银河系边缘的距离大于rbr_b，则RR的最大值无法取到rgalr_{\mathrm{gal}}，只能取：

rl=r⊙2+rb2−2r⊙rbcos⁡lr_l = \sqrt{r_\odot^2 + r_b^2 - 2r_\odot r_b \cos{l}}

圆锥面的半顶角为90∘−b90^\circ - b，圆锥方程为：

z2=[x2+(y−r⊙)2]tan⁡2bz^2 = [x^2 + (y-r_\odot)^2] \tan^2{b}

和圆柱面：

x2+y2=rgal2x^2 + y^2 = r_{\mathrm{gal}}^2

的交线为抛物柱面：

z2=[rgal2−2r⊙y+r⊙2]tan⁡2bz^2 = [r_{\mathrm{gal}}^2 - 2r_\odot y + r_\odot^2] \tan^2{b}

的一部分。

考虑圆x2+y2=rgal2x^2 + y^2 = r_{\mathrm{gal}}^2与x2+(y−r⊙)2=rb2x^2 + (y-r_\odot)^2 = r_b^2的交点：

rgal2−2r⊙y0+r⊙2=rb2r_{\mathrm{gal}}^2 - 2r_\odot y_0 + r_\odot^2 = r_b^2

即：

y0=rgal2+r⊙2−rb22r⊙y_0 = \frac{r_{\mathrm{gal}}^2 + r_\odot^2 - r_b^2}{2r_\odot}

这对应的银经为：

cos⁡l=r⊙−y0rb\cos{l} = \frac{r_\odot - y_0}{r_b}

容易证明：（两边同乘2r⊙rb2r_\odot r_b，这等价于r⊙<rgalr_\odot < r_{\mathrm{gal}}）

r⊙−y0rb<rb2r⊙\frac{r_\odot - y_0}{r_b} < \frac{r_b}{2r_\odot}

当rgal−r⊙<rb<rgal+r⊙r_{\mathrm{gal}} - r_\odot < r_b < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot时会出现交点。交点的cos⁡l=0\cos{l} = 0对应于：

rb=rgal2−r⊙2r_b = \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2}

临界点：

rgal−r⊙<rb<rgal+r⊙r⊙<rb<2r⊙r_{\mathrm{gal}} - r_\odot < r_b < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot \\ r_\odot < r_b < 2r_\odot

若2r⊙<rgal<3r⊙2r_\odot < r_{\mathrm{gal}} < 3r_\odot（取r⊙=8.5 kpcr_\odot = 8.5\,\mathrm{kpc}，即为17 kpc<rgal<25.5 kpc17\,\mathrm{kpc} < r_{\mathrm{gal}} < 25.5\,\mathrm{kpc}），则有：

r⊙<rgal−r⊙<2r⊙<rgal+r⊙r_\odot < r_{\mathrm{gal}} - r_\odot < 2r_\odot < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot

值得注意的是，当rgal>5r⊙r_{\mathrm{gal}} > \sqrt{5} r_\odot时，交点的cos⁡l=0\cos{l} = 0对应于：

rb=rgal2−r⊙2>2r⊙r_b = \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} > 2r_\odot

也就是交点y0y_0从y0<r⊙y_0 < r_\odot（交点在第一、四象限，此处以太阳为参考系）到y0>r⊙y_0 > r_\odot（交点在第二、三象限）的变化一定发生在rb>2r⊙r_b > 2r_\odot的阶段。取r⊙=8.5 kpcr_\odot = 8.5\,\mathrm{kpc}，则5r⊙≈19 kpc\sqrt{5} r_\odot \approx 19\,\mathrm{kpc}。

分类讨论

我们先考虑rgal⩾3r⊙r_{\mathrm{gal}} \geqslant 3r_\odot的情况，则：

rgal+r⊙>rgal2−r⊙2>rgal−r⊙>2r⊙>r⊙r_{\mathrm{gal}} + r_\odot > \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} > r_{\mathrm{gal}} - r_\odot > 2r_\odot > r_\odot

在bb不断增大，即rbr_b不断变小的过程中会发生如下变化：

  1. rb⩾rgal+r⊙r_b \geqslant r_{\mathrm{gal}} + r_\odot：圆锥和圆柱侧面有交线，但底面没有。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾0r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={rgal,cos⁡l⩾0rgal,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. rgal2−r⊙2⩽rb<rgal+r⊙\sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} \leqslant r_b < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第一、四象限。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾r⊙−y0rbr⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<r⊙−y0rbr⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={rl,cos⁡l⩾r⊙−y0rbrgal,0⩽cos⁡l<r⊙−y0rbrgal,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_{\mathrm{gal}}, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. rgal−r⊙⩽rb<rgal2−r⊙2r_{\mathrm{gal}} - r_\odot \leqslant r_b < \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2}：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第二、三象限。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾0r⊙,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0r⊙,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

Rmax={rl,cos⁡l⩾0rl,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0rgal,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

  1. 2r⊙⩽rb<rgal−r⊙2r_\odot \leqslant r_b < r_{\mathrm{gal}} - r_\odot：圆锥底面完全在圆柱底面内，尚未触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾0r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={rl,cos⁡l⩾0rl,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_l, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. r⊙⩽rb<2r⊙r_\odot \leqslant r_b < 2r_\odot：圆锥底面完全在圆柱底面内，触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾rb2r⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rb2r⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. rb<r⊙r_b < r_\odot：圆锥底面完全在圆柱底面内，触发典型情况3。

Rmin={rl,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \cos{l} < 0 \end{cases}

同理，假设5r⊙<rgal<3r⊙\sqrt{5} r_\odot < r_{\mathrm{gal}} < 3r_\odot，则：

rgal+r⊙>rgal2−r⊙2>2r⊙>rgal−r⊙>r⊙r_{\mathrm{gal}} + r_\odot > \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} > 2r_\odot > r_{\mathrm{gal}} - r_\odot > r_\odot

在bb不断增大，即rbr_b不断变小的过程中会发生如下变化：

  1. rb⩾rgal+r⊙r_b \geqslant r_{\mathrm{gal}} + r_\odot：圆锥和圆柱侧面有交线，但底面没有。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾0r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={rgal,cos⁡l⩾0rgal,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. rgal2−r⊙2⩽rb<rgal+r⊙\sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} \leqslant r_b < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第一、四象限。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾r⊙−y0rbr⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<r⊙−y0rbr⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={rl,cos⁡l⩾r⊙−y0rbrgal,0⩽cos⁡l<r⊙−y0rbrgal,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_{\mathrm{gal}}, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. 2r⊙⩽rb<rgal2−r⊙22r_\odot \leqslant r_b < \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2}：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第二、三象限，尚未触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾0r⊙,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0r⊙,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

Rmax={rl,cos⁡l⩾0rl,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0rgal,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

  1. rgal−r⊙⩽rb<2r⊙r_{\mathrm{gal}} - r_\odot \leqslant r_b < 2r_\odot：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第二、三象限，触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾rb2r⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0r⊙,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rb2r⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0rgal,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

  1. r⊙⩽rb<rgal−r⊙r_\odot \leqslant r_b < r_{\mathrm{gal}} - r_\odot：圆锥底面完全在圆柱底面内，触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾rb2r⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rb2r⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. rb<r⊙r_b < r_\odot：圆锥底面完全在圆柱底面内，触发典型情况3。

Rmin={rl,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \cos{l} < 0 \end{cases}

下一个情况是2r⊙⩽rgal<5r⊙2r_\odot \leqslant r_{\mathrm{gal}} < \sqrt{5} r_\odot，则：

rgal+r⊙>2r⊙>rgal2−r⊙2>rgal−r⊙>r⊙r_{\mathrm{gal}} + r_\odot > 2r_\odot > \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} > r_{\mathrm{gal}} - r_\odot > r_\odot

在bb不断增大，即rbr_b不断变小的过程中会发生如下变化：

  1. rb⩾rgal+r⊙r_b \geqslant r_{\mathrm{gal}} + r_\odot：圆锥和圆柱侧面有交线，但底面没有。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾0r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={rgal,cos⁡l⩾0rgal,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. 2r⊙⩽rb<rgal+r⊙2r_\odot \leqslant r_b < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第一、四象限，尚未触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾r⊙−y0rbr⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<r⊙−y0rbr⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={rl,cos⁡l⩾r⊙−y0rbrgal,0⩽cos⁡l<r⊙−y0rbrgal,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_{\mathrm{gal}}, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. rgal2−r⊙2⩽rb<2r⊙\sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} \leqslant r_b < 2r_\odot：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第一、四象限，触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾rb2r⊙r⊙,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rb2r⊙rl,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<rb2r⊙rgal,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

  1. rgal−r⊙⩽rb<rgal2−r⊙2r_{\mathrm{gal}} - r_\odot \leqslant r_b < \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2}：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第二、三象限，触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾rb2r⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0r⊙,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rb2r⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0rgal,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

  1. r⊙⩽rb<rgal−r⊙r_\odot \leqslant r_b < r_{\mathrm{gal}} - r_\odot：圆锥底面完全在圆柱底面内，触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾rb2r⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rb2r⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. rb<r⊙r_b < r_\odot：圆锥底面完全在圆柱底面内，触发典型情况3。

Rmin={rl,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \cos{l} < 0 \end{cases}

最后一种情况是r⊙<rgal<2r⊙r_\odot < r_{\mathrm{gal}} < 2r_\odot（显然太阳不位于银河系的外部），则：

rgal+r⊙>2r⊙>rgal2−r⊙2>r⊙>rgal−r⊙r_{\mathrm{gal}} + r_\odot > 2r_\odot > \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} > r_\odot > r_{\mathrm{gal}} - r_\odot

在bb不断增大，即rbr_b不断变小的过程中会发生如下变化：

  1. rb⩾rgal+r⊙r_b \geqslant r_{\mathrm{gal}} + r_\odot：圆锥和圆柱侧面有交线，但底面没有。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾0r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={rgal,cos⁡l⩾0rgal,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} \geqslant 0 \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. 2r⊙⩽rb<rgal+r⊙2r_\odot \leqslant r_b < r_{\mathrm{gal}} + r_\odot：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第一、四象限，尚未触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾r⊙−y0rbr⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<r⊙−y0rbr⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={rl,cos⁡l⩾r⊙−y0rbrgal,0⩽cos⁡l<r⊙−y0rbrgal,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_{\mathrm{gal}}, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < 0 \end{cases}

  1. rgal2−r⊙2⩽rb<2r⊙\sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2} \leqslant r_b < 2r_\odot：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第一、四象限，触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾rb2r⊙r⊙,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rb2r⊙rl,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<rb2r⊙rgal,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

  1. r⊙⩽rb<rgal2−r⊙2r_\odot \leqslant r_b < \sqrt{r_{\mathrm{gal}}^2 - r_\odot^2}：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第二、三象限，触发典型情况2。

Rmin={r⊙∣sin⁡l∣,cos⁡l⩾rb2r⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0r⊙,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_\odot |\sin{l}|, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rb2r⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0rgal,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

  1. rgal−r⊙⩽rb<r⊙r_{\mathrm{gal}} - r_\odot \leqslant r_b < r_\odot：圆锥和圆柱底面有交线，且交线两端点y0y_0位于第二、三象限，触发典型情况3。

Rmin={rl,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0r⊙,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_\odot, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,r⊙−y0rb⩽cos⁡l<0rgal,cos⁡l<r⊙−y0rbR_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \leqslant \cos{l} < 0 \\ r_{\mathrm{gal}}, & \cos{l} < \dfrac{r_\odot - y_0}{r_b} \end{cases}

  1. rb<rgal−r⊙r_b < r_{\mathrm{gal}} - r_\odot：圆锥底面完全在圆柱底面内，触发典型情况3。

Rmin={rl,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙r⊙∣sin⁡l∣,0⩽cos⁡l<rb2r⊙r⊙,cos⁡l<0R_{\mathrm{min}} = \begin{cases} r_l, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot |\sin{l}|, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_\odot, & \cos{l} < 0 \end{cases}

Rmax={r⊙,cos⁡l⩾rbr⊙r⊙,rb2r⊙⩽cos⁡l<rbr⊙rl,0⩽cos⁡l<rb2r⊙rl,cos⁡l<0R_{\mathrm{max}} = \begin{cases} r_\odot, & \cos{l} \geqslant \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_\odot, & \dfrac{r_b}{2r_\odot} \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{r_\odot} \\ r_l, & 0 \leqslant \cos{l} < \dfrac{r_b}{2r_\odot} \\ r_l, & \cos{l} < 0 \end{cases}

应用

在论文 (Wakker 1991) 中采用了这样的模型：

r⊙=8.5 kpc,rgal=26 kpc,h=4 kpcr_\odot = 8.5\,\mathrm{kpc},\quad r_{\mathrm{gal}} = 26\,\mathrm{kpc},\quad h = 4\,\mathrm{kpc}

旋转曲线为：

v(R)={R×440 km/s,0⩽R<0.5 kpc220 km/s,R⩾0.5 kpcv(R) = \begin{cases} R \times 440\,\mathrm{km/s},\quad 0 \leqslant R < 0.5\,\mathrm{kpc} \\ 220\,\mathrm{km/s},\quad R \geqslant 0.5\,\mathrm{kpc} \end{cases}

由于在0⩽R<0.5 kpc0 \leqslant R < 0.5\,\mathrm{kpc}的区间内vR\dfrac{v}{R}为常数，上面讨论的结论也适用于该模型。代入计算可以得到与 (Wakker 1991) 中相同的图：

讨论

模型变种

该模型有一些不同的变种：

  • 非常数的旋转曲线：目前公认最准确的旋转曲线模型是 (Reid et al. 2019) 基于 (Persic et al. 1996) 给出的通用旋转曲线模型。此时我们需要将v(R)R\dfrac{v(R)}{R}看作整体求极值，此时RR的取值即为上面讨论的[Rmin,Rmax][R_{\mathrm{min}}, R_{\mathrm{max}}]，在这个范围内代入v(R)v(R)计算旋转速度，一般只能通过数值解法求解v(R)R\dfrac{v(R)}{R}的极值。
  • 考虑银河系边缘比中间厚，例如 (van Woerden et al. 2004) 第2.1节使用的边缘抛物线模型：

    zmax={1 kpc,R<r⊙[1+(R/r⊙−1)22] kpc,R>r⊙z_{\mathrm{max}} = \begin{cases} 1\,\mathrm{kpc},\quad R < r_\odot \\ \left[1 + \dfrac{(R/r_\odot - 1)^2}{2}\right]\,\mathrm{kpc},\quad R > r_\odot \end{cases}

    旋转曲线使用的是 (Wakker 1991) 的模型。先计算RmaxR_{\mathrm{max}}再计算vmaxv_{\mathrm{max}}。
  • 论文 (de Heij, Braun, & Burton 2002) 在圆柱体模型的基础上加入了气体沿zz轴的分布（使用了一个高斯分布）和银盘的翘曲（ϕ\phi为以银心为原点，沿银河系旋转方向增加的角度坐标，太阳对应于ϕ=180∘\phi=180^\circ）：

    z=(R−11.56)sin⁡ϕ+0.3(R−11.56)2(1−2cos⁡ϕ)z = \left(\frac{R - 11.5}{6}\right)\sin\phi + 0.3\left(\frac{R - 11.5}{6}\right)^2 (1 - 2\cos\phi)

    然而这个模型的旋转曲线使用的是v(R)≡220 km/sv(R) \equiv 220\,\mathrm{km/s}的常数。这样的模型使用数值解法计算[vmin,vmax][v_{\mathrm{min}}, v_{\mathrm{max}}]是最合适的。